Biografi Augustin Louis Cauchy
Masa kecil Cauchy
Augustin Louis Cauchy memiliki sebutan “Matematikawan anak revolusi Perancis”. Kutipan itu rasanya cocok untuk menggambarkan pribadi Cauchy, dimana dia terkait dengan dua hal yang disebut awal agama dan sains. Tidak ada yang memperkirakan bahwa Louis-Francois Cauchy tidak terjamah guilotin. Posisinya sebagai pengacara parlemen, bangsawan, seorang intelektual, penentang agama Katholik dan menjadi letnan polisi di Paris ketika Bastille jatuh.
Dua tahun menjelang revolusi Perancis, dia menikah dengan Marie Madeleine Desestre, yang dikarunai dengan wajah nan rupawan meskipun kurang terpelajar, namun mempunyai satu kesamaan, yaitu membenci agama Katholik. Augustin Louis Cauchy lahir kurang dari 6 minggu setelah terjadi revolusi Perancis, adalah anak sulung dari 6 anak (dua laki dan 4 perempuan).
Masa kecil Cauchy adalah periode berdarah. Sekolah-sekolah ditutup. Terjadi kevakuman dalam ilmu pengetahuan atau kebudayaan, komunitas mulai meninggalkan kebudayaan dan ilmu pengetahuan agar tidak ditangkap, masuk penjara atau diguilotin. Guna menghindari hal-hal buruk itu, ketika umur Cauchy empat tahun, mereka sekeluarga pindah ke desa kecil, Arcueil. Mengungsi memang mampu menghindari diri mereka dari teror, namun membiarkan diri mereka menderita kelaparan. Setiap hari menderita “setengah” kelaparan dan hanya mampu memberi makan istri dan anak-anaknya dengan buah-buahan dan sayur-sayuran yang dapat mereka tanam seadanya atau dari belas kasihan para tetangga.
Akibatnya, mudah diduga, Cauchy mudah terserang penyakit dan pertumbuhan fisiknya terhambat. Menjelang umur 20 tahun, Cauchy baru mampu menanggulangi kurang gizi (malnutrisi) semasa kecil, walaupun sepanjang hidupnya terus berjuang untuk memperbaiki kesehatan. Untuk memberi pendidikan anak-anaknya dilakukan oleh Cauchy senior dengan menulis sendiri buku-buku teks, banyak diantaranya berupa puisi. Puisi dipercayainya tersusun oleh tata bahasa yang benar. Hal ini membuat tata-bahasa Cauchy sangat buruk. Anak-anaknya mulai dijejali dengan pelajaran sejarah selain moral penuh dengan sinisme.
Bertetangga dengan Laplace
Pada perbatasan desa Arcueil terdapat rumah Laplace dan Claude-Louis Berthollet [1748 – 1822], dimana nama kedua diguilotin karena tahu bagaimana membuat mesiu. Keduanya adalah sahabat karib. Kebun mereka hanya dipisahkan oleh tembok dimana-mana masing-masing memberikan kunci duplikatnya kepada yang lainnya. Cauchy senior, dalam upaya menutup setengah kelaparan pergi kedua orang tetangganya ini yang tidak pernah kekurangan makanan.
Suatu hari, sewaktu Cauchy senior mengajak si kecil pergi ke rumah Berthollet yang tidak pernah ke luar rumah dimana Laplace sedang bertamu, Laplace terkesan dengan penampilan anak itu. Penampilan seperti anak biasa namun memandang buku-buku dan makalah-makalah yang bertebaran dengan mata tidak berkedip dan tampaknya sangat menyukai.
Beberapa saat kemudian, Laplace mengetahui bahwa anak ini mempunyai bakat matematika istimewa dan memberi nasihat agar Cauchy senior mengajarinya matematika.
Beberapa tahun kemudian, Laplace mengikuti kuliah dari Cauchy tentang deret tak terhingga (infinite series) disertai dengan ketakutan bahwa penemuan anak ini tentang konvergensi dapat menghancurkan seluruh mekanika alam semesta (celestial) yang menjadi andalannya. Kompetensinya terancam karena semua perhitungannya didasarkan pada divergen. Beruntunglah Laplace karena intuisi astronomikalnya jauh dari bencana, setelah dia menguji ulang perhitungannya tentang deret dengan metode konvergensi dari Cauchy yang kemudian disebut dengan metode Cauchy.
Bertemu dengan Lagrange
Awal tahun 1800, secara diam-diam Cauchy senior bersama keluarga kembali ke Paris dan terpilih sebagai sekretaris senat. Menempati kantor di Luxembourg Palace dan Cauchy kecil mendapat jatah ruangan di pojok. Lagrange profesor matematika dari Polytechnique sering datang dan diskusi tentang bisnis dengan Cauchy senior. Lagrage tertarik seperti halnya Laplace tertarik dengan anak kecil yang memendam bakat matematika.
Dalam suatu kesempatan Laplace dan banyak pakar lain yang hadir, Lagrange menuding Cauchy kecil yang duduk di pojok seraya berkata, “Anda semua, lihatlah anak itu. Dia akan menjadi penerus kita semua sebagai matematikawan.” Langrange memberi nasihat kepada Cauchy senior, “Agar tidak mematikan bakatnya, jauhkan anak ini dari buku matematika sampai usianya mencapai tujuh-belas tahun.” Yang dimaksud oleh Lagrange adalah matematika tingkat tinggi. Dalam kesempatan lain disebutkan, “Jika anda tidak dapat memberi pelajaran tentang tata-bahasa maka semangatnya akan padam. Dia akan menjadi matematikawan besar tapi dia sendiri tidak tahu bagaimana menulis dengan bahasanya sendiri.” Nasihat dari matematikawan besar perlu dituruti. Sebagai tindak-lanjutnya, Cauchy senior mengajar tata-bahasa sebelum membiarkan anaknya menekuni matematika tingkat tinggi.
Semua usaha ayahnya ini membuahkan hasil. Cauchy diterima di Central School of Pantheon pada kisaran usia tiga-belas tahun. Lewat prestasi di sekolah dengan menjadi bintang kelas, Cauchy piawai dalam sejarah Yunani, bahasa Latin dan puisi dalam bahasa Latin memperoleh hadiah pertama dari Napoleon.
Menjadi pasukan Napoleon
Selanjutnya, selama sepuluh bulan, Cauchy mempelajari matematika secara intensif dengan bimbingan seorang ahli. Tahun 1805, pada usian enam-belas tahun diterima pada Polytechnique. Sifat membenci agama Katholik, hasil doktrin kedua orang tuanya, membuat dirinya dibenci oleh teman-temannya lewat pandangan-pandangan agama yang terkadang dikemukakannya.
Lulus dari Polytechinue, Cauchy melanjutkan pada bidang teknik sipil pada tahun 1807. Setelah lulus, mengabdikan diri kepada Napoleon. Bulan Maret 1810, Cauchy meninggalkan Paris pergi ke Cherbourg, memasuki kancah perang Waterloo, selama lima tahun. Sebelum menyerang dengan ratusan ribu pasukan, perlu dibangun pelabuhan-pelabuhan dan benteng-benteng untuk menahan kapal musuh. Napoleon mempunyai pengharapan bahwa dia dapat mengalahkan pasukan Inggris. Diharapkan kemenangan ini merupakan peristiwa penting kedua setelah runtuhnya Bastille.
Tugas Cauchy selama di Cherbourg adalah insinyur militer. Sebelum keberangkatnya, Cauchy membawa empat buku karangan Laplace (Mecanique Celeste), karangan Langrange (Traite des fonctions analytique), Thomas Kempis (Imitation of Christ) dan sebuah manual perang sebagai buku wajib bagi prajurit.
Selama tiga tahun di Cherbourg, Cauchy ternyata dapat “menikmati” kehidupan itu. Bangun dini hari, kerja keras sampai malam hari. Membangun barak untuk tahanan perang asal Spanyol adalah pekerjaan sehari-hari, membuat tubuh Cauchy berangsur sehat.
Kembali ke Matematika
Kembali dari Cherbourg, pada awal Desember 1810, Cauchy menekuni matematika. Diawali dengan belajar aritmatika dan berakhir dengan astronomi. Menyederhanakan pembuktian dan menemukan proposisi-proposisi baru dengan menggunakan metode-metodenya menjadi pekerjaan sehari-hari.
“Tragedi” di Moskow pada tahun 1812, perang dengan Prussia dan Austria membuat impian Napoleon untuk menyerbu Inggris urung, dan pekerjaan di Cherbourg ditunda. Masih berumur 24 tahun dan tahun 1813, Cauchy kembali ke Paris. Saat ini dia melakukan penelitian matematika brilian agar layak disebut matematikawan terkemuka Perancis, seperti yang pernah diucapkan oleh Lagrange, nubuat untuk digenapi. Topik yang menjadi pokok penelitian adalah polyhedra dan fungsi-fungsi asimetris.
Awal tahun 1811, Cauchy mengeluarkan makalah perdananya tentang polyhedra, yang mempunyai sisi lebih dari sekedar 2, 4, 6, 12 atau 20 sisi. Disusul dengan makalah kedua, dengan mengembangkan rumus dari Euler tentang geometri bidang, dengan menghubungkan jumlah sudut (S), permukaan (M), (garis) verteks (V) dari polyhedron, S + 2 = M + V. Makalah ini kemudian dicetak, dan Legendre menyuruh Cauchy melanjutkan meskipun Malus (1775 –1812) menyebutkan bahwa ada yang salah dengan rumus itu, namun Malus tidak dapat menunjukkan bagian mana yang salah.
Berseteru dengan Malus
Eteinne Louis Malus bukan seorang matematikawan handal, tapi seorang officer insinyur kawakan. Ketika Napoleon melakukan kampanye di Jerman dan Mesir, Malus tanpa disengaja menelukan polarisasi cara dengan teknik reflesi. Kritiknya terhadap Cauchy hanya sekedar komentar seorang fisikawan amatir yang sudah veteran.
Dalam upaya membuktikan theorema Cauchy menggunakan “metode tidak langsung” yang biasa dipakai oleh pemula dalam belajar geometri. Metode ini menjadi sasaran kritik Malus. Dalam pembuktian proposisi dengan menggunakan metode tidak langsung ini, terjadi kontradiksi karena dideduksi dari asumsi yang salah mengikuti logika Aristotelian, yang menganggap bahwa asumsi itu benar. Cauchy tidak menemui hambatan dengan menyertakan bukti-bukti, namun tetap menganggap Cauchy belum memberikan pembuktian. Logika Aristotelian, seperti yang dinyatakan Malus kepada Cauchy, tidak selalu merupakan metode sahih untuk pembuktian dalam matematika.
Apabila Malus gagal untuk meyakinkan Cauchy pada tahun 1812, maka pembuktian lengkap terjadi pada tahun 1912 oleh Brouwer. Brower mewarisi analisis matematikal Cauchy.
Determinan
Di tengah kesibukan, Cauchy menyunting Aloise de Bure, keturunan keluarga yang kembali sama seperti Cauchy, membenci Katholik. Mereka menikah pada tahun 1818 dan mempunyai 2 anak perempuan. Kedua anak ini kembali dididik oleh Cauchy untuk tetap membenci Katholik. Kebahagiaan dalam pernikahan membuat Cauchy makin produktif dalam berkarya, sampai terjadi revolusi pada tahun 1830, yang menurunkan tahta Charles X.
Keloyalan Cauchy terhadap raja ini tidak perlu diragukan. Dinasti Bourbon dipercayai Cauchy adalah perwakilan langsung dari Langit yang dikirim untuk memerintah Perancis bahkan alasan bahwa Langit mengirim badut tidak punya kompetensi seperti Charles X tidak mau diterimanya. Cauchy merasa mengerjakan tugas mulia dari Langit dan untuk kebesaran Perancis, ketika menggantikan posisi Monge.
Ingin ke luar dari bayang-bayang ketenaran Gauss, Cauchy melakukan kiprah di luar bidang yang menjadi kompetensi Gauss. Untuk itu Cauchy mengembangkan apa yang disebut dengan determinan. Diawali dengan membuat susunan simetri dari n faktor atau bilangan, a1, a2, a3, …, an, sebelum merumuskan difinisi determinan sebagai ekspresi yang diperoleh dari setiap perubahan. Tahun 1815, Cauchy menggunakan determinan untuk menghitung perambatan gelombang, menyelesaikan problem geometri dan fisika.
Matematikawan “penentang arus”
Cauchy selalu mencerca agama dan tabiat ini selalu memicu masalah baginya. Orang yang kenal dengannya menyebut bahwa tabiat itu membuat dirinya penuh percaya diri, arogan, pemujaan diri sendiri dan tersingkir dari pergaulan. Tabiat itu juga mempengaruhi sikapnya terhadap ilmuwan lain. Memberikan opini religius saat melakukan penelitian ilmiah. Ketika memberikan laporan penelitian tentang teori cahaya pada tahun 1824, dia menyerang pandangan perintis awal teori itu Newton, yang disebutnya tidak percaya bahwa manusia mempunyai jiwa.
Barangkali ingat bagaimana perlakuan Cauchy terhadap Galois dan Abel. Ketika Abel meninggal pada tahun 1829, Cauchy tidak bergeming, tidak mau memeriksa karya Abel yang ditumpuknya sejak 1626, meskipun terus didesak oleh Legendre. Berseteru dengan ilmuwan lain adalah hal biasa bagi Cauchy.
Berseteru dengan Libri yang kemudian “mengungsi” dari Perancis karena ada kasus pencurian buku-buku berharga. Ada perbedaan pendapat dengan Duhamel dalam hal penentuan siapa penemu pertama dalam “goncangan-goncangan inelastis” (inelastic shocks).
Semua yang disebutkan di atas akhirnya menjadi anti-klimaks. Isi surat dari anak perempuan Cauchy yang menggambarkan saat-saat akhir Cauchy, disebutkan bahwa, “Dengan kesadaran penuh dan kekuatan mental, pada dini hari 03.30, tiba-tiba ayah mengucapkan kata-kata pujian kepada Jesus, Maria dan Joseph. Menjelang pukul 04.00 dini hari, ayah meninggal. Meninggal dengan tenang.”
Menjadi pengelana Eropa
Pada tahun 1830, terjadi pergolakan politik di Perancis dan tahun-tahun itu Cauchy memutuskan untuk beristirahat. Bulan Juli terjadi revolusi dan pada bulan September 1830, Cauchy beristirahat beberapa waktu di Swiss dengan meninggalkan anak dan istrinya. Memprakarsai pendirian Academie Helvetique di Swiss, namun proyek ini akhirnya gagal karena peristiwa politik. Tahun berikutnya pergi ke Turin setelah mendapat tawaran Raja Piedmont (Charles Albert – Raja Sardinia) untuk menduduki jabatan kepada fisika teoritikal.
Setelah jatuh sakit dan diharuskan banyak istirahat, Cauchy pergi liburan dan menemui Paus di Vatican. Tidak lama bermukim di Turin, langsung menuju Praha dan menjadi kembali menjadi pengikut Charles X yang melarikan diri. Tugas Cauchy adalah membimbing cucu Charles X, Duke of Bordeaux, yang masih berusia 13 tahun.
Di Praha, Cauchy bertemu dan melakukan diskusi tentang difinisi kontinuitas dengan Bolzano, Sebelum kembali lagi ke Paris pada tahun 1838, dengan meninggalkan “murid” pribadinya. Pergi untuk menghadiri kawin emas orang tuanya dipakai sebagai alasan. Lewat dispensasi anggota-anggota lain dari Institut (termasuk Academie of Science), Cauchy tidak perlu mengangkat sumpah setia kepada Pemerintah dan Cauchy memperoleh posisi di Academie. Kompetensi matematika Cauchy berkembang pesat pada periode ini. Selama 19 tahun akhir kehidupannya menghasilkan lebih dari 500 makalah dalam bidang matematika, termasuk mekanika, fisika dan astronomi.
Ekses Sumpah Setia
Tidak mau mengangkat sumpah ini ternyata membawa preseden buruk. Ketika ada lowongan jabatan di College de France, nama Cauchy muncul sebagai kandidat lewat surat kaleng. Cauchy kembali ditolak. Ketika Bereau des Longitudes butuh matematikawan handal, selentingan muncul nama Cauchy. Terjadi tarik-menarik. Lewat pertimbangan bahwa Perancis masih membutuhkan Cauchy, kembali ada dispensasi tidak perlu mengangkat sumpah bagi Cauchy. Disinilah Cauchy memberi sumbangsih kepada astronomi matematikal.
Diawali oleh Leverrier membuat makalah tanpa konsultasi dengan Cauchy. Kalkulasi angka yang panjang membuat tak seorang pun dewan juri mau dan sanggup memeriksa karya itu, ketika dipresentasikan di Academie. Cauchy tampil sebagai sukarelawan.
Alih-alih mengikuti cara Leverrier, Cauchy dengan cepat mampu membuat jalan pintas dan menemukan metode-metode baru yang memungkinkan dirinya melakukan verifikasi dan mengembangkan gagasan itu dalam waktu yang lebih singkat. Masuknya Cauchy ke Bereau memberi “warna” lain terhadap pandangan politik Bereau yang kemudian banyak menolak campur tangan Pemerintah.
Mengetahui hal ini, Pemerintah menekan Cauchy agar mengundurkan diri. Konflik ini semakin meruncing pada tahun 1843. Cauchy, akhirnya, karena nasihat teman-temannya, mengirimkan surat pengunduran dirinya sebelum ke luar surat pemecatan dari Pemerintah.
Kasus ini kemudian dianggap bahwa kebebasan akademis terpasung. Tidak lama kemudian mulai muncul bibit-bibit permusuhan dengan Pemerintah yang diindikasikan dengan maraknya perkelahian dengan aparat di jalan-jalan raya, kerusuhan, pemogokan dan perang sipil dengan misi mengubah tatanan itu. Untuk mengakomodasi, ketentuan yang dibuat oleh salah satu provisi, mulai menghilangkan sumpah setia sebagai prasyarat. Tahun 1852, sewaktu Napoleon III mengambil alih kekuasaan, sumpah setia ditiadakan. Tampaknya Cauchy, akhirnya, memenangkan “pertempuran” ini.
Yang tertinggal dari Cauchy adalah unik. Cauchy tidak populer diantara rekan-rekan kerjanya. Baginya kedudukan atau jabatan harus didasarkan pada kompetensi, sedangkan faktor-faktor lain dianggap melanggar etika. Dalam pergaulan sosial Cauchy sangat sopan, Tabiatnya sangat ekstrem kecuali dalam dua hal matematika dan agamanya, dimana sikapnya sangat moderat. Siapapun yang menjalin hubungan dengannya akan dianggap sebagai prospek. Ketika diundang William Thomson (Lord Kelvin) yang berusia 21 tahun untuk berdiskusi tentang matematika, Cauchy lebih banyak menghabiskan waktu untuk mengubah keyakinan (agama) Lord Kelvin.
Cauchy dapat dikatakan meninggal secara mendadak. Diawali dengan problem kesehatan pada saluran pernafasan, Cauchy meminta ijin untuk beristirahat di desa, guna penyembuhan. Saat di desa mengalami demam ringan namun berakibat fatal. Beberapa jam sebelumnya Cauchy masih berdiskusi dengan Uskup agung kota Paris tentang proyek amal-derma salah satu sifat Cauchy yang tetap terbawa sejak kecil. Ucapan terakhir “Manusia mati, tapi namanya tetap tinggal,” barangkali pertanda akhir hayatnya.
Sumbangsih
Banyaknya karya Cauchy dapat diperbandingkan dengan karya Euler. Menghasilkan 789 makalah adalah sebuah prestasi istimewa. Tabiat Cauchy yang dapat disebut “unik” mampu memberi warna tersendiri bagi riwayat matematikawan.
Cauchy tidak hanya meletakkan dasar analisis bilangan riil dan bilangan kompleks, yang membuat namanya terkenal namun mencakup bidang-bidang lain.
Ikut berperan dalam pengembangan fisika matematikal dan mekanika teoritikal, teori elastisitas dan penelitiannya tentang teori cahaya, dimana mencakup penemuan teknik-teknik matematika baru seperti transformasi Fourier, diagonalisasi matriks dan kalkulus residu-residu. Permutasi dan kombinasi serta determinan melengkapi khazanah matematika dan aplikasinya makin hari makin jelas manfaatnya yaitu untuk menyelesaikan problem-problem matematika, mekanika maupun fisika.
Determinan
Di tengah kesibukan, Cauchy menyunting Aloise de Bure, keturunan keluarga yang kembali sama seperti Cauchy, membenci (agama) Katholik. Mereka menikah pada tahun 1818 dan mempunyai 2 anak perempuan. Kedua anak ini kembali dididik oleh Cauchy untuk tetap membenci (agama) Katholik. Kebahagiaan dalam pernikahan membuat Cauchy makin produktif dalam berkarya, sampai terjadi revolusi pada tahun 1830, yang menurunkan tahta Charles X. Keloyalan Cauchy terhadap raja ini tidak perlu diragukan. Dinasti Bourbon dipercayai Cauchy adalah perwakilan langsung dari Langit yang dikirim untuk memerintah Perancis – bahkan alasan bahwa Langit mengirim badut tidak punya kompetensi seperti Charles X – tidak mau diterimanya. Cauchy merasa mengerjakan tugas mulia dari Langit dan untuk kebesaran Perancis, ketika menggantikan posisi Monge.
Ingin ke luar dari bayang-bayang ketenaran Gauss, Cauchy melakukan kiprah di luar bidang yang menjadi kompetensi Gauss. Untuk itu Cauchy mengembangkan apa yang disebut dengan determinan. Diawali dengan membuat susunan simetri dari n faktor atau bilangan, a1, a2, a3, …, an, sebelum merumuskan difinisi determinan sebagai ekspresi yang diperoleh dari setiap perubahan. Tahun 1815, Cauchy menggunakan determinan untuk menghitung perambatan gelombang, menyelesaikan problem geometri dan fisika. Misal diketahui A, B, C adalah lebar pipa paralel, jika diproyeksikan ke dalam aksis x, y dan z yang tegak lurus dengan sistem koordinat adalah:
A1 B1 C1
A2 B2 C2
A3 B3 C3
Maka isi pipa paralel adalah [{(A1B2C3) + (A3B1C2) + (C1A2B3)} – {(A3B2C1) + (A1C2B3) + (C3B1A2)}] = S(±A1B2C3). **) Dalam tulisan yang sama dikaitkan dengan perambatan gelombang, Cauchy menggunakan determinan dengan notasi derivatif parsial, mengganti kondisi yang diperlukan dua garis untuk mengeksresikannya secara singkat:
S(± dx dy dz ) = 1
da db dc
Sisi kiri sekarang lebih dikenal dengan sebutan “Jacobian” dari x, y, z dengan a, b, c. Nama Jacobi dipakai bukan karena dia pertama kali menggunakan bentuk determinan ini, namun karena dia membangun penyelesaian (algorist) tentang kemungkinan-kemungkinan yang terkait dengan notasi-notasi determinan.
Postulat Cauchy
Teori substitusi, dirombak menjadi lebih sistematis oleh Cauchy, yang dikemukakannya lewat makalah-makalahnya terhitung mulai pertengahan tahun 1840. Dikembangkan dan diberi nama teori kelompok-kelompok terbatas (theory of finite groups).
Operasi diberi notasi dengan huruf besar, A, B, C, D… dan dua operasi, sebagai contoh, A pertama dan B kedua, memungkinkan terjadi kesetaraan AB. AB dan BA tidak harus mempunyai operasi yang sama. Misal A adalah “Bagilah dengan 10, bilangan yang diketahui,” dan B adalah “tambahkan 10 terhadap bilangan yang diketahui”, AB = x/10 + 10 sedangkan BA (x+10)/10.
Apabila operasi X dan Y sama disebut sebagai sama dengan (atau equivalen) yang lazim ditulis dengan notasi X = Y. Notasi ini biasa disebut dengan asosiatif. Dikenal dua jenis asosiatif: untuk penjumlahan dan untuk perkalian. Dari tiga operasi U, V, W dalam bentuk (UV)W = U(VW) disebut menurunkan hukum asosiatif.
Pada notasi pertama, UV diproses pertama, dan hasilnya dikalikan dengan W; tapi pada notasi kedua, U diproses pertama dan hasil itu dikalikan dengan VW.
Tidak mau kalah, seperti halnya Euclid, Cauchy juga mengemukakan empat postulat:
1. Terdapat aturan kombinasi yang dapat dipakai pada setiap (pasangan) X, Y yang hasilnya diberi notasi XY. Kombinasi X dan Y dalam susunan ini, sesuai dengan hukum kombinasi, secara unik ditentukan operasi secara kelompok.
2. Untuk setiap tiga operasi X, Y, Z dalam kelompok, hukum (i) disebut asosiatif, disebut (XY)Z = X(YZ).
3. Terdapat identitas unik I dalam kelompok, untuk itu setiap operasi X dalam kelompok IX = XI = X.
4. Jika X ada pada setiap operasi dalam kelompok, ada kelompok operasi unik, disebut X’, seperti X X’ = I (mudah dibuktikan bahwa XX’ = I juga).
Empat postulat di atas mendasari pengambangan lebih lanjut dengan mambahas permutasi ***) atau substitusi kelompok-kelompok. Ilustrasi, menggunakan tiga huruf a, b dan c dapat diperoleh 6 pasangan huruf: ab, ac, bc, ba, ca, cb. Di atas adalah permutasi yang dibedakan dengan kombinasi yang diperoleh: ab, ac, bc.
DAFTAR PUSTAKA
